闭集 E 与一点 p(p 不属于 E)的距离是否有可能不大于 0？

[huzhikuizainali]

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[necomancer]

取 X=(0, 1]，E=(0,1)，则 E 在 X 上是闭集。E 在 X 中不紧致，取 p=1 in X, not in E ，则 inf{d(p, q)|q in E}=0,取 q->1-。

[huzhikuizainali]

@necomancer 谢谢你的回复。按照你的例子，E 在 X 上不是闭集啊！ X 中的 1 作为 E 的极限点并不属于 E ，所以 E 不是 X 的相对闭集。

其次想在 k 维实数空间有界闭集，但不是紧集的例子也不可能实现吧？海涅–博雷尔定理使得 k 维实空间下的闭有界集合都是紧集。

[huzhikuizainali]

@necomancer 请问你是不是想说 取 X=(0,1),E=[0.5,1)。则 E 在 X 上闭集，但是 E 在 R 上不是紧致。因此令 p=1 ，此时 p 不属于 E ，而 d(p,E)不大于 0 。

如果是这样，这里面有个问题。此时 E 只是相对 X 是闭集。E 相对 R 不是闭集。而距离函数是定义在 R 上的。对应 4.16 定理。显然函数 f 是定义在度量空间 X 上。因此用 X 上的相对闭集来挑战定义在 R 上的距离函数似乎并不合理。我结合公开课中前后文的意思，似乎老师也不是这么比较的。

我猜测老师的意思还是指 E 相对于某度量空间空间(比如度量空间 X)是闭集，而距离函数 d(p,E)=inf{d(p,q),q∈E}，且该函数也是定义在度量空间 X 上。二者在同一空间的前提下，再回答 E 是闭集，d(p,E)还一定大于 0 的问题。

以上是我的猜测，如果你觉得哪里不对，还请指正！谢谢！

[cbz1998]

在 X 上也能定义相对应的距离函数，只是这个距离函数和 R 上的正好一致。

如果你称 X 为度量空间，不是已经自带了一个距离函数吗？为什么不能让这个距离函数和 R 上的一致呢？