能否证明拥有 4 个约数的自然数最多

[qinjiannet]

分别统计了 100 ， 1000 ， 10000 以内的自然数的约数个数分布情况。

得出了这样的猜测：拥有 4 个约数的自然数最多。

如果猜测是正确的，能否加以证明？

相关链接： http://bookshadow.com/weblog/2016/11/28/python-matplotlib-divisor-count-scatter-bar/

[wenxw1997]

楼上用集合的势考虑当然正确，不过楼主不是已经给了另一种“多少”的定义吗？楼主应该是想知道：
拥有四个约数的小于 n 的正整数个数>拥有某个固定的 k 个约数的小于 n 的正整数个数
是否成立
如果成立，还能否进一步估计这两个差别是怎样，能否找到一个函数 f(k)去估计

[wenxw1997]

上面的命题应该补上 n→∞

[innoink]

我数学已经还给老师了。。不过看偶数坐标的图像。。感感觉很像卡方分布的一种图像。。

[innoink]

你说的约数算不算 1 和本身？

[qinjiannet]

@innoink 算 1 和本身

[Mistwave]

建议找点集合论的书翻一翻，@DiamondbacK 这位的答案思路是对的。
我从另一个角度试着阐述一下

有命题：任意有穷个可数集的笛卡儿积是可数集。

若 a, b, c, d 都属于正整数集 Z+，则有序对<a, b, c, d>组成的集合相当于四个可数集的笛卡儿积，显然也是可数集。

那么我们只需要将四个数相乘起来，可以得到{abcd | a, b, c, d ∈ Z+} 是上述集合的无穷真子集，显然也是可数集。

将此处的“ 4 ”个约数推广一下，拥有任意有限个约数 n 的自然数集都是可数集。

又有，可数集与自然数集 N 均等势（可以理解为集合大小一样），所以无论拥有几个约数的自然数集，都是等势的。

所以楼主的命题是不成立的。

[netzzx]

为什么不改为考虑前 N 个自然数中有四个约数的自然数所占的比例呢? 这不就躲过去无穷集合的势的问题了么

[jasonding]

任意一个奇数素数乘以 2 得到的结果都只有 4 个约数

[jasonding]

哦，不限于奇数，任意一个素数乘以 2 的结果都是只有 4 个约数的

[rrfeng]

@jasonding 偶素数只有一个哈哈哈

[oldj]

@jasonding 这么说起来其实任意两个素数的积，都有 4 个约数。比如 a 、 b 是两个素数，且 a≠b ，那么它们的积的约数有：{1, a, b, a*b }。

[rrfeng]

我们定义考察范围为 1-N ，可以找到素数列表中的第 M 个素数： R(1)=1 ， R(2)=2 ， R(3)=3 ， R(4)=5 ... R(M-1)， R(M) ..

使得 R(M-3)*R(M-2)*R(M-1)*R(M) < N < R(M-2)*R(M-1)*R(M)*R(M+1)

然后从 1-M 个素数中，任意取 n （ N<5 ） 个素数相乘，得到很多自然数，都属于 1 - N
显然 4 个数的取法最多。

考察 5 个素数的积……编不下去了……

[reture]

这个问题已经有数学家专门研究过了： http://math.stackexchange.com/questions/409675/number-of-distinct-prime-factors-omegan

[qinjiannet]

@reture 这个是整数的不重复质因子的数目吧？

[jasonding]

@oldj 恩，是这样的。

[phpcyy]

@DiamondbacK 请问素数和合数等势吗？素数的势是不是小于合数？

[DiamondbacK]

@phpcyy 素数集、合数集都与整数集等势。可数集的无限子集统统等势。