galahadv2
2019-05-24 11:04:48 +08:00
《算法导论》 4.1 讲解了如何使用分治法求解最大子数组的问题，在练习题 4.1-5，提示了一个线性时间的算法。
对于数组 A, 如果已经知道了 A[0:j] 的最大子数组，那么可以按如下性质扩展得到 A[0:j+1] 的最大子数组：
```
A[0:j+1] 的最大子数组要么依然是 A[0:j] 的最大子数组，要么是某个子数组 A[i:j+1] (1<=i<=j+1>>)
```
上面这句话也可以直观地理解为：
```
A[0:j+1] 的最大子数组只有有两种可能情形:
1. 依然是 A[0:j] 的最大子数组，它必定不包含 A[j] 这个元素（注意 a[j] 是 A[0:j+1] 的最后一个元素，并不包含在 A[0:j]中）；
2. 是一个位于最右边的子数组(A[i:j+1] 形式的)。
```
因此在循环体中，每次都计算一下情形 2 的最大子数组，即计算必定包含最后一个元素的最大子数组（我们给它命名为最右最大子数组），然后和 A[0:j]相比较，较大的即为 A[0:j+1]的最大子数组。
``` golang
func maxIncludeRight(a []int) int {
sum := 0
max := math.MinInt64
for i := len(a) - 1; i >= 0; i-- {
if sum += a[i]; sum >= max {
max = sum
}
}
return max
}
func maxSubArray(nums []int) int {
max := nums[0]
for i := range nums {
if right := maxIncludeRight(nums[:i+1]); max < right {
max = right
}
}
return max
}
```
上面的代码已经可以正常工作了，现在来观察一下是否还有优化的余地。
观察 maxIncludeRight ,每次它都全新地来计算“最大最右子数组”，实际上，如果我们已知 a[0:i]的“最右最大子数组”，那么可以很快求出 a[0:i+1]的“最大最右子数组”。方法如下：
1. 如果 a[0:i]的最右最大子数组 m 小于 0，则 a[0:i+1]的最右最大子数组就是 a[i]；
2. 如果 a[0:i]的最右最大子数组 m 不小于 0，则 a[0:i+1]的最右最大子数组就是 m+a[i]。
初始时，a[0：1]的最右最大子数组为 a[0]， 这样可以一步步来求出 a[0:i]的最右最大子数组了。代码如下:
``` golang
func maxIncludeRight(a []int, i int) int {
max := a[0]
for _, v := range a[1 : i+1] {
if max < 0 {
max = v
} else {
max += v
}
}
return max
}
func maxSubArray(nums []int) int {
max := nums[0]
for i := range nums {
if right := maxIncludeRight(nums, i); max < right {
max = right
}
}
return max
}
```
注意到两次循环可以合并，一次搞定，因此最终的代码如下：
```go
func maxSubArray(nums []int) int {
max, sum := nums[0], nums[0]
for _, e := range nums[1:] {
if sum < 0 {
sum = e
} else {
sum += e
}
if sum >= max {
max = sum
}
}
return max
}
```
最后阅读上面这段代码，也可以换个角度来思考最大子数组问题。
最大子数组必定满足这一性质：
```
位于它左侧的任何一个子数组必定大于 0
```
因为如果存在一个小于 0 的左侧子数组，则可以去掉它，而得到一个新的最大子数组。
例如，对于[-2, 1, -3, 4, -1, 2, 1, -5, 4]:
[-2, 1, -3]肯定不是最大子数组，因为左侧的 [-2, 1]小于 0
从 4 开始往右，
[4]
[4,-1]
[4, -1, 2]
[4, -1, 2, 1]
以上都有可能是最大子数组。
[4, -1, 2, 1,-5] 不可能是最大子数组，因为它小于 0。
因此，按此方法从左向右，舍弃所有已知左侧子数组小于 0 的情形，然后取最大值即可。