吃火锅想到的一个概率问题：锅里还剩几个蛋

[morningD]

背景：假如我去吃火锅，已知锅里有 N 个鹌鹑蛋，我想要把这些蛋捞来吃。每个蛋被捞到的概率均为 P （重庆火锅红汤，看不到锅底，），并且一次捞出的个数没有限制。但是，如果我连续 T 次都没捞到，那我就会放弃。

问题：当我放弃后，锅里剩下的鹌鹑蛋的个数的期望 E 是多少？（可以假设 N=10, P=0.2, T=5 ）

这应该是一个概率论问题，一直没想到如何得到公式解。用程序模拟得到数据解应该是可行的。

[murmur]

楼主这个问题应该假设为，一个锅里分布着鱼蛋和鹌鹑蛋，问捞起鹌鹑蛋的期望是多少，先简化问题才能分析，首先得保证能捞到东西，如果捞不到东西我就会满锅扒拉

[dingyaguang117]

因为连续捞 T 次没捞到，这个过程就会结束。所以这个动作序列的总长度为

(T-1)*(N-1) + 1 。

我觉得可以用暴力搜索解决

[dingyaguang117]

@dingyaguang117 更正，总长度最大为 (T-1)*(N-1) + 1

[morningD]

@morningD
@daen 12 楼的模拟错了，应该是 0.615 。sorry

[Elethom]

@murmur 杠精？

[morningD]

@Elethom 你是正确的。准确来说，对应的是有 N 个 SSR，连续 5 次 10 连没抽到新卡就放弃的情况。

[daen]

@morningD 的确，我给的算法有很大问题，没有考虑蛋和蛋相互之间的影响，这导致了最终结果的误差非常大

[newtype0092]

@murmur “每个蛋被捞到的概率均为 P，并且一次捞出的个数没有限制”，这个就是明确的数学条件，背景只是套一个场景，条件一致的情况下用勺子捞蛋看是否捞出和扔骰子看点数没有区别，讨论概率问题谁管你说的那些“情况”。

[murmur]

@newtype0092 好吧，这么复杂的一个问题就被简化为这么简单一个模型，还一时间让人接受不了

[xiadong1994]

@morningD 建议你把你的模拟代码发出来，这种概率问题的“模拟”程序很有可能有错。

[sixg0d]

初高中搞数学竞赛的对这种题就不陌生了，记得华东师大的竞赛丛书里有一册讲概率的，很多这种类型的题，还套上了驴象之争、东风西风之类的背景，挺有意思的。

9 楼 @gwy15 给出的(1.7)式可以直接推出来的。根据（捞到的）首次捞出来的个数分情况（也就是求条件期望），如果一直没捞到，就是式中的首项，首次捞到 L 个蛋的条件下，最后的期望就是 f(n-L)，而捞到 L 的概率就是若干次(0~T-1)捞空紧随着一次 L 的概率，也就是(1.7)式中 f(n-L)的系数。具体的求和号前是若干次捞空的概率，后面是捞 L 的二项式概率。

[sixg0d]

至于你说的期望不太受 N 影响，用这种递推想法可以很直观得解释：有 N 蛋而结束捞蛋的概率是(1-p)^{NT}，所以有很大概率会继续捞下去，所以最后的期望约等于 N 比较小的时候。至于 N 比较小时期望的变化，以及你所说的合理策略，其实是跟 p 有关的

[967182]

哎，我次火锅的时候就光顾着捞了，捞完就往嘴里塞，重来没想过这么高深的问题。

[zhuweiyou]

蛋不够了，喊服务员再叫一盘吧。

[garyzhuang]

这取决于汤勺的大小吧

[richieboy]

P 的值明显是越来越小的