关于巴塞尔问题(1+1/4+1/9+1/16+......=Π^2 /6), 按我的思维这个结果只是一个趋近的值，这里为什么是等号呢？数学不太好，一直不太理解无穷这个概念，希望能从本质解释一下。

[251]

[rrfeng]

你没错

极限等于
等于

两个其实不一样，只是借用了等于号而已。也可以造个新符号，但是没必要。

[Jooooooooo]

极限等号的意思是说(也就是定义是):

定义记号: 我们把左边的和记为 l, 右边的记为 r, 一个任意小的正数 e, l - r 的差值绝对值记为 e1

极限的意思是总是可以找到一个 N, 当左边的项个数比 N 大时, 可以使得 e1 比 e 小


换个更简单的说法是, 可以使得左边和右边的差值任意小. 至于为啥任意小就是等号, 就涉及到两个数相等是啥意思了, 比如可以先从戴德金分割开始了解

[251]

@rrfeng ok,谢谢。

[constexpr]

级数的定义就是取极限

[xxb]

极限就是等于，因为两者之间插不进任何第三个数字。
譬如 1=0.99999999 无限循环，这里的等号严格成立，并非约等于，也不是无限接近等于，它就是等于。

[251]

@xxb 其实 1=0.999999.. 这个我也一直没搞懂。1 和 0.999999... 按我们语义这分明是两个数不同的数，但这两个不同的数却在数学中有着相同的值(也就是可以在任意式子用 0.999...代替 1)。相当于两个符号对应一个值，不太能理解。

[251]

@Jooooooooo 暂时理解成"差值不能更小了"，所以就是等于，后面再研究研究。

[iAIR]

1 楼是错误的！极限等于就是等于，不存在“借用等于号”这种说法。
极限对于很多人来说确实很难理解，最常见的例子就是 0.999... = 1 ，这就是严格等于，不是约等于（至少在标准实数系统中是这样）。

当然另有一些在初等数学可能没有定义的问题，通过有意义地拓展定义会有解答，但这是另外的话题，楼主的问题不属于这类。例如：
1+2+3+4+... = -1/12

[deanguqiang]

不要试图用语文去理解数学……

[ssynhtn]

既然你连极限都不理解，就不用去思考这么难的问题了
先把循环小数 0.99999……为什么等于 1 搞懂吧

对于非数学系，没有数学分析基础的人来说，想要真的弄懂并不容易，因为真要搞清楚涉及到实数的定义

[Jooooooooo]

@251 若两个数相减可以任意小, 那么这两个数相等. 这是相等的定义.

[251]

@ssynhtn 我不是要理解巴塞尔问题。本质还是理解为什么 0.999...=1 。但好像一两句话说不清楚或者听不懂。
本贴终结。

[godpeo]

本质是算法， 无穷只是幌子， 上述等式 意味两种算法殊途同归

[godpeo]

@251 取决你怎么定义， 可以定义不等(潜无穷)， 也可以定义相等(实无穷)， 定义相等让很多计算都更方便， 所以现代主流数学都认为相等， 事实上以前很多数学家也不认为相等， 如庞加莱等就否定实无穷

[Celebi]

@251 #12 1/3=0.333...，(1/3)*3=1 ，0.333...*3=0.999...，所以 0.999...=1

[013231]

@251 1/3 等于 0.333...能理解吗？ 2/3 等于 0.666...能理解吗？ 3/3 等于 0.999...能理解吗？

[akira]

微积分的难点之一。。极限。。

[251]

@godpeo 你这种说法我特别能接受。其实定义的好坏还是看谁最能自圆其说，如果某一天在特定的条件下定义 1=2 ，从而能够解决许多问题，那也能接受了.

[msg7086]

你可以计算一下 1 - 0.999... 的值。
你会发现 1 - 0.999... = 0.000...。

[parametrix]

1. 当以级数形式表示时，此无穷级数表达的是极限的结果而非过程。
2. 实数本身由实数公理给出。实数的十进制表示可以看作是符号 '[0-9]','.','-' 生成的自由群到实数的映射。0.999...=1 说明这个映射不是单值的。其实任何进制表示都有这个现象。
3. 有人提到超实数。非标准分析我不熟，但即便在非标准分析框架下，也应该不会影响此断言的正确性。非标准分析把标准公理系统嵌入（一阶）到一个更大的系统中。虽然新系统确实有更多的对象，但“嵌入”即要求原有的断言到新系统上仍然正确 (concurrent relation).