vacua
2022-10-01 11:29:42 +08:00
记不存在极限的不等式为 A ，存在极限的不等式为 B ，记题设中含有积分的不等式为 C
1. A 中的 delta 是一个常数，不是变量，是存在一个大于 0 的数，不是任意，不能取极限。例，存在一个大于 0 的常数 c ，在定义域 R 下，有 x+c>x 恒成立。
2. 对任意两个实数 a 、b ，不等式 C 恒成立，则此时设 a=x0-delta ，b=x0+delta ，对任意常数 delta ，不等式 C 仍成立，不妨对不等式左右两端，取 delta 趋于 0 的极限，仍满足“任意常数 delta”的约束，且等式两端极限均存在，则不等式仍成立。
3. 不等式两端取极限，应当重新比较取极限后的值，原不等式和两端取极限后的不等式不一定等价，一般需将严格不等式取为非严格不等式。参见极限的保号性、保序性。例：当 n 取正整数时，1/n > 1/(n+1)，对不等式两端取 n 趋于无穷的极限时，两端极限均存在且均等于 1 ，此时等号可以取到，严格不等式转为非严格不等式。