为什么会有无理数？

[nullcoder]

起因是想到 1/3 是 0.33 无限循环小数，但是我想如果不是 10 进制，是 9 进制，那 1/3 就是 0.3 了
继而想到无限不循环小数，即无理数

比较熟知的无理数有 根号 2 根号 3 pie 等等
简单在百度百科看了一下 https://baike.baidu.com/item/%E6%97%A0%E7%90%86%E6%95%B0
对证明根号 2 是无理数的证明也可以理解

但我的想法是为什么会有无理数？就是说（ 0，1 ）之间都是有无穷无尽的可能
这个问题可能和为什么有质数一样，当然并不指望能得到完美的答案。
自己想不出来，就发出来，好放下这个。

[WhoMercy]

@nullcoder
我的理解是：
其实无理数都是被定义出来的，类比“复数”，在实际中可能很难找到对应的实例（或具体表现），但它们却实实在在的影响着运算结果。
所以就先定义这些数再给它们赋值，就造成了“无理数”的出现。
关于π，就是通过观察、假设、定义出圆的周长和半径的关系系数π，再通过微积分（极限）的方法算出面积和π的关系。
因为我们有多种途径可以测得周长和半径，也就能推出π的数值（近似值，根据测量方法会产出生不同精度），而这个数正好是无限不循环的（无理数）。

但其实我不知道无理数的证明过程，所以后面部分算是主观猜测。

[kofj]

没人说楼主的例证就错了吗？十进制里面的 1 和 3 与九进制里面的 1 和 3 一样？还有很多的吐槽点。。。

[panda1001]

@kofj
我也一直在想 0.1 算不算二进制里的无理数

[Vinty]

@panda1001 然而 0.1 在二进制里面也是循环小数，即有理数

[ipwx]

@kofj 没错。十进制的 0.3 = 3 * 10^{-1}。十进制的 0.3333.. 应该定义为无穷级数 sum_{i=1}^N (3 * 10^{-N})。

因此九进制的 0.3 = 3 * 9^{-1}

[DiamondbacK]

@panda1001 一个数是否等于两个整数之比，结论不管在什么进制里都一样。
0.1 = 1/10 = 1/(1010)_2

[momocraft]

一个数是 model，用几进制写出来只是 view。无限不循环小数显然不等于无理数，在几进制都一样。

[momocraft]

*无限循环小数

[stabc]

十进制的 10/30，在 9 进制的表示方式不是 10/30，而是 11/33

[chaker]

这需要理由吗？

[nullcoder]

@momocraft #27 的意见和我一样

@panda1001 @kofj
这是不同进制间小数转化方式，可以从 10 进制小数转 2 进制小数开始看。
http://www.cnblogs.com/xkfz007/articles/2590472.html

无理数比如自然底数 e，还有 根号 2 pie，这些都是首先天然存在于自然界的。
然后在数学上被发现，并用一种特殊的方式表示。

[md5]

pi 不是 pie

[ipwx]

@nullcoder @momocraft 其实当你们说到“无限不循环小数”的时候，你们已经陷入误区了。

因为你们无法精确定义任何一个“无限不循环小数”。你们给别人看到的都是有限位数的小数，而当没有循环这一规则时，任何你没有写的小数位，都是未定义的。数学不讨论任何无定义的东西。

真正严谨地讨论无理数，必须基于明确的定义。譬如一个积分的结果，一个收敛的无穷级数的和。

[davidqw]

@imzhong 哥德尔或许不这么看

[siriussilen]

无法定义一个数的精确程度
1.0000000000 … = 0.999999999 ……
0.6666666666 …… 7 = 0.666666 …… 6
看看微积分学教程

[fyyz]

楼主已经开始思考第一次数学危机的内容了，2000 年前就有人思考这个东西了

[am241]

搜索 数学直觉主义 数学构造主义

[summerwar]

因为它不讲道理，所以叫无理数

[oulongqi]

事情是这样的：

曾今有个学派叫做毕达哥拉斯学派，他们信奉万物皆整数或整数之比（有理数）。后来有个不听话的学生质疑他们这个学派的观点，说：『老大，我发现边长为 1 的正方形的对角线不能写成整数或者整数的比，怎么办？』后来他老大（毕达哥拉斯）就火了，一怒之下把这个学生就给弄死了。后来越来越多的人发现好像这个学生是对的，那就是有理数没办法挤满整个数轴，有理数之间还有大量的缝隙（现代的测度论观点证明了有理数集的测度为 0，也就是说有理数的数量和无理数比起来根本不值一提），于是就为无理数正了名。后来逐步证明了当有了 无理数 之后，有理数+无理数能够密密麻麻的挤满整个实数轴，万事大吉。

然后时间来到了十七世纪，一群爱搞事数学家（笛卡尔、欧拉、高斯等）发现，为什么要局限于一根数轴上呢，我们可以往平面上搞事。于是发明了复数，再后来哈密尔顿在有提出了四元数（四维），当然这些都是后话了。

[tnx2014]

@nullcoder

其实关于引入无理数的严格理由，ipwx 举了一些角度和例子，已经说得很好了。但我想这毕竟不是纯数学学术讨论，楼主还是希望有不那么严谨但更直观一些的解释。

楼主的问题，其实涉及到完备性的概念，不严谨的解释，完备性就是对于一个集合，用某种标准去考察它，如果所有满足这种标准的元素都在这个集合内，就说这个集合在这种角度下是完备的，因为在这个角度看来，我们不用再给这个集合添加新元素。

例如对于一般空间而言，完备性的定义就是：任何空间中的柯西列的一致收敛极限包含于这个空间中。这个具体含义你不做相应研究可以不用深究，总之就是对空间这种集合，定义了某种东西，要求满足所有满足这个性质的元素包含在这个空间中，如果满足这个标准，就称这个空间是完备的。

其实毕达哥拉斯的学生希帕斯发现的问题就是类似，既然你这学派认为“万物皆数（有理数）”，那两直角边都为 1 的直角三角形的斜边长怎么表示呢？就是说，我们如果以三角形边长为标准，总有一些边长不在有理数的集合中，所以从这个角度看，有理数集合是不完备的，引入无理数可以完备化。