吃火锅想到的一个概率问题：锅里还剩几个蛋

[morningD]

背景：假如我去吃火锅，已知锅里有 N 个鹌鹑蛋，我想要把这些蛋捞来吃。每个蛋被捞到的概率均为 P （重庆火锅红汤，看不到锅底，），并且一次捞出的个数没有限制。但是，如果我连续 T 次都没捞到，那我就会放弃。

问题：当我放弃后，锅里剩下的鹌鹑蛋的个数的期望 E 是多少？（可以假设 N=10, P=0.2, T=5 ）

这应该是一个概率论问题，一直没想到如何得到公式解。用程序模拟得到数据解应该是可行的。

[daen]

瞎猜一下：N*(1-P)^T

[morningD]

@daen 你的思路是转换成等价的问题吧。对于每个蛋来说，连续 5 次没被捞到的概率是(1-P)^T，所以根据二项分布的期望，剩下的个数的期望是 N*(1-P)^T 。感觉挺合理的

[murmur]

E=0，因为你捞不出来那肯定是都被别人捞走了，吃火锅是那么大一个漏勺，如果你鹌鹑蛋都捞不出来他大概率就是没了

[vinew]

@murmur 那如果一个人吃海底捞的情景，蛋一定是被服务员捞走了🤣

[gwy15]

能解出来解析表达式，我得写写。最后得解一个 n 元 1 次方程，或者递归也可以。

[Jooooooooo]

挺好的问题, 可以上知乎问问

[murmur]

既然有兄弟想认真讨论，我就写几句
这种把现实生活转到数学上肯定加了巨多的限制，否则没法解，比如我提几个
1 、楼主捞蛋是怎么进行的，是一个地方一下还是围着锅转一圈
2 、有其他的食材干扰楼主判断么，比如你是捞到大的东西就去看一下
3 、总在一个地方捞么，如果捞不到会不会换地方
4 、有没有其他人干扰你捞食材
本人挑食，涮锅子基本上荤菜只吃鹌鹑蛋，专业捞蛋选手，只要锅里有我绝对能给他捞出来，你还想让我放弃

[TigerK]

额，吃火锅从来没点过鹌鹑蛋，想问问好吃不？是连壳子一块下去煮吗？

[gwy15]

https://gwy15.com/blog/%E7%81%AB%E9%94%85%E6%8D%9E%E8%9B%8B

v 站不支持公式，我丢我博客去了。相对于直接求解 DP 的 O(n^2 T) ，把复杂度降到了 O(n^2)。由最后的分式结果我比较怀疑能找到 O(n) 的解法。

[sephinh]

在你思考这个问题的时候，蛋已经全被别人拿漏勺打扫干净了....

[murmur]

@TigerK 很好吃，一般都是剥皮煮熟的给你，自助火锅可能要自己剥皮

[morningD]

@daen 我写了一个简单的程序验证了一下，根据前面假设的数值，循环 1000 次的平均期望是 0.001 ，N*(1-P)^T=3.2768，所以你的猜想大概率不正确

[morningD]

@TigerK 还不错哦，基本每次必点，一般都是煮好的并剥好的，烫一下就能吃

[morningD]

@sephinh 哈哈，但是这又回到了这个概率问题，别人如何确定已经打扫干净了呢？根据我多次吃火锅（红汤）的经验，永远不知道锅底还剩下什么

[morningD]

@murmur 其实我就想知道的就是这个“大概率”是多少

[morningD]

@gwy15 非常感谢，我去写个程序验证一下。另外，咱把这个问题扩展一下，如果希望期望<e，那么 T 的最小下界应该是多少呢？
假如 e=1，是的，我最多只能忍受送一个蛋给服务员，那我应该怎么捞

[Elethom]

感觉这里用户的统计学水平还不如手游玩家，这种抽卡期望的问题早就被研究透彻了。

帮你转化一下：十连抽，SSR 掉率 20%，抽到就收手，抽五次还没抽到就不抽了。

[morningD]

@Elethom 不是等价的问题，锅里蛋的个数是固定了，并且也有一次捞到多个的情况

[Elethom]

@morningD 你再想想。

[murmur]

@Elethom 抽卡也是不一样的，fgo 国服以前有保底，比如说 5%的概率，那 20 抽（次）就是必出