正态分布样本最大值服从什么分布

[mutelog]

从一个服从 N(μ, σ)的总体中抽取容量为 m 的样本，求 m 的最大值服从什么分布？

[mutelog]

更正：求样本的最大值服从什么分布

[Jooooooooo]

简单搜了一下似乎并不是一个简单的题目

相关的帖子: math.stackexchange.com/questions/473229/expected-value-for-maximum-of-n-normal-random-variable

[noqwerty]

样本是 iid 且 n 足够大的话有近似解 https://math.stackexchange.com/questions/89030/expectation-of-the-maximum-of-gaussian-random-variables

[necomancer]

如果是 iid 似乎很简单吧，对任意分布取 n 个值(X_i)，则 P(max(X_i)<=x)=P(x)^n，P 是 cdf，pdf 的话求个导 q(x)=nP(x)^{n-1}p(x), 其中 p 是 P 对应的 pdf

[green15]

看不明白楼主说什么……印象中统计有这么一说，只要样本数量增加到足够大，不管原来是什么分布，都会趋向于正态

[xupefei]

拍了拍脑袋，应该是标准分布

[noqwerty]

@green15 #5 你说的中心极限定理 (CLT) 是说样本量足够大的时候变量均值的分布会接近正态分布，并不能推广到最大值 /最小值

[tankren]

高数？

[Mohanson]

和 m 有关，如果 m 无限大就是常数，m 为 1 就是高斯 其他的有请大佬

[northisland]

@Jooooooooo 简单说，是中大奖分布的期望。确实不简单。stackexhange 上牛人多。

[Nillouise]

写个程序模拟看看不就知道了吗？

[Nillouise]

@Mohanson，m 为 1 的时候不是正太分布吗？

[collery]

正态分布是啥来着

[xelatex]

留意到样本最大值小于某个数和所有样本小于那个数是等价的，假设独立，可以写出样本最大值的累积分布函数。这东西恐怕没有初等表示。画了两个图，可以感觉一下。
i.loli.net/2021/02/10/KoupVg8G92lRj4Y.png
i.loli.net/2021/02/10/YMbQF9PpyBxvmO2.png

[hsfzxjy]

同意 @necomancer #4 这其实就是第 m 顺序统计量 https://en.m.wikipedia.org/wiki/Order_statistic

[zst]

这是次序统计量的分布问题吧

[superhxl]

说正态分布的同学没看清楚吧，样本、总体都是正态分布，但楼主说的是最大值。

[Raven316]

@necomancer nb

[noqwerty]

@necomancer #4 问题应该就是求导这步，不像 Uniform distribution 这种很容易按公式推出解析解

[Harry1993]

這裏有關於指數分佈的一篇文章，類似的方法應該套用到高斯分佈。

https://arxiv.org/abs/1307.3945