小学奥数概率题，答案不是 1/8 吗？

[artemislu569]

有一道题
https://imgur.com/a/WxqDFRF
大家是啥答案，不是 1/8 吗？

[Renormalization]

@Renormalization “逆时针扫过”的含义为某只鸭子和圆心的连线逆时针扫过

[InDom]

将圆分为 0 / 1 两个半圆形, 任意一只鸭子必然出现在任意一个半圆形内.

所以, 每个半圆内鸭子总数可能的组合只有以下几种

0/4, 1/3, 2/2, 所以出现 0/4 的可能是 1/3 的概率.

[kenvix]

我是这样想的，不知道是否有错，若有错烦请 V 友指出：
设随机事件 X 的概率为放鸭子放到下半圆的概率，X~B(4,0.5); P{X=4}=1/16 ，全部放到相同半圆，加上上半圆则概率为 1/8

[MoRanjiang]

算着好麻烦，有没有人用程序模拟一千遍看看平均概率

[ssynhtn]

半圆如果是不指定的话，挺难算的
算了下貌似是 7/12

[ssynhtn]

@ssynhtn 更正: 有个地方搞错了，是 1/2
而且有人做了模拟了 https://secantzhang.github.io/blog/monte-carlo-method-solving-duck-problem

[buxudashi]

这个不是逐步算的吗？
1 只--100%，无论落在哪，肯定在它自己的半圆内
2 只--100%，极端情况就是在一个直径上，也肯定在它自己的半圆内。
3 只--50%，只要前 2 只落下，第 3 只有一半机会形成半圆
4 只--25%，第 4 只要前 3 只那个半圆，也只有一半机会。

[xiri]

@superares
@Unclev21x
@kenvix
几位应该都混淆了一个问题条件，这里对半圆的划分不是固定的，是先有鸭子再去看能不能找到一条直径让这些鸭子都在这条直径的同一侧，而不是先把圆划分成两半再去放鸭子看能不能落在同一个划分好的区域。

在这一条件下，当鸭子数小于等于 2 时出现在同一半圆内的概率是 100%的（对于圆内任意两点，除非都在直径上，否则总能找到一条直径使其位于同一侧）。

[GeruzoniAnsasu]

https://imgur.com/a/zZ8DGVl

按照李永乐老师的解法，3 只鸭子共半圆的概率是 3/4 ，与我上面这一步是一致的

但为什么「三只鸭子共半圆时放入第四只鸭子还共半圆」的概率不等于「四只鸭子共半圆」的概率？

[GeruzoniAnsasu]

@GeruzoniAnsasu 似乎这就是个关键的陷阱，第三只得出 50%概率的思路也是这样错的

[yty2012g]

写了个代码算了一下，基本上是接近 0.5 ，也就是 1/2

[msg7086]

@buxudashi @GeruzoniAnsasu
第三只不是 50%。如果前 2 只的夹角是 0 度，那么第三只就是 100%成功。如果前 2 只的夹角是 90 度，第三只的概率就是 75%。夹角无限接近 180 度的时候概率是 50%。
所以这里比例是(100+50)/2 也就是 75%。

再往下算第四只鸭子的概率的话：
夹角是 0 度，第三只 100%成功后，第四只成功的概率是多少？和只有两只的概率相同，也就是 75%。
夹角是 90 度呢？相当于圆四等分后，三四两点与一二两点同半圆的概率（ 75%, 62.5%, 62.5%, 0%）的平均值，也就是 50%。
夹角是 180 度呢？ 25%。
所以总的概率就是（ 75%, 50%, 25%）的平均值。

当然以上省略了无数的证明过程，只是取了些特殊点而已。

[artemislu569]

OP 没看清到底是初中还是高中概率题,求知心切,发出来应该再检查一遍的，抱歉大家。不是恶意造谣的。。。。关注题目内容好了。感谢感谢

[artemislu569]

完了，没看清是初中还是小学。。。。打错打错了，要被喷死了