Subdifferential

释义 Definition

次微分（集合）/ 次梯度集：在函数不可导或不光滑的点，用来“替代导数”的一个集合，包含所有能够作为该点“广义斜率”的向量。最常见于凸分析与凸优化中。
（注：不同语境下还可能有更一般的“Clarke 次微分”等定义。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ˌsʌbˌdɪfəˈrɛnʃəl/

例句 Examples

The subdifferential of |x| at 0 is [-1, 1].
|x| 在 0 处的次微分是 [-1, 1]。

In convex optimization, a point is optimal if 0 belongs to the subdifferential of the objective at that point.
在凸优化中，如果 0 属于目标函数在该点的次微分集合，那么该点就是最优点（满足一阶最优性条件）。

词源 Etymology

sub- 表示“次、在下/从属”，differential 来自“微分/导数”的概念。合在一起强调：当普通导数（differential）不适用时，引入一种“次一级/替代性”的微分概念，用集合刻画可能的斜率范围，特别适合处理不光滑（nonsmooth）函数。

相关词 Related Words

• Subgradient
• Gradient
• Differentiable
• Nonsmooth
• Convex
• Optimization
• Monotone Operator
• Clarke Subdifferential

文献与作品 Literary / Notable Works

• Convex Analysis（R. Tyrrell Rockafellar）：系统定义并广泛使用“subdifferential/次微分”作为凸函数的核心工具。
• Convex Optimization（Stephen Boyd & Lieven Vandenberghe）：在最优性条件与算法讨论中多次出现次微分与次梯度概念。
• Variational Analysis（Rockafellar & Wets）：将次微分放入更广义的变分分析框架中讨论。
• Nonsmooth Analysis and Control Theory（F. H. Clarke 等相关著作/方向）：在不光滑分析与控制理论中使用（含 Clarke 次微分等扩展）。