Abelian Theorem

释义 Definition

Abelian theorem（阿贝尔定理）通常指一类把“级数/求和方法的收敛性”与“相应函数在边界处的极限行为”联系起来的结果。常见形式是：如果某种求和（如幂级数、傅里叶级数的某种求和）在内部收敛并满足一定条件，那么当变量趋近于边界时，对应的“和函数”会以可控的方式趋向某个极限。它常与 Tauberian theorem（陶伯定理）成对出现：Abelian 定理多是“从强条件推出边界极限”，Tauberian 定理多是“从边界极限反推收敛”。

发音 Pronunciation (IPA)

/əˈbiːliən ˈθiːərəm/

例句 Examples

If a power series converges inside the unit circle, an Abelian theorem can describe its behavior as (r \to 1^{-}).
如果一个幂级数在单位圆内收敛，阿贝尔定理可以描述当 (r \to 1^{-}) 时它的行为。

In Fourier analysis, Abelian theorems relate summability methods (like Abel summation) to the limiting values of a function near the boundary.
在傅里叶分析中，阿贝尔定理把求和/可和性方法（如阿贝尔求和）与函数在边界附近的极限值联系起来。

词源与来历 Etymology

“Abelian”来自挪威数学家 Niels Henrik Abel（尼尔斯·亨利克·阿贝尔）的姓氏，许多与“交换性（Abelian）”、级数与分析相关的概念以他命名。“theorem”源自希腊语 theōrēma，意为“被观察到的结论/命题”。“Abelian theorem”并非单一一条定理的固定编号，而是数学分析中一类“Abel 型结论”的统称。

相关词 Related Words

• Abelian
• Tauberian
• Theorem
• Convergence
• Series
• Summability
• Fourier
• Power Series
• Laplace Transform

文献与著作中的用例 Notable Works

• G. H. Hardy, Divergent Series（讨论 Abelian/Tauberian 思想与发散级数的求和方法）
• A. Zygmund, Trigonometric Series（傅里叶级数中 Abel 求和与相关 Abelian 定理经常出现）
• J. Korevaar, Tauberian Theory: A Century of Developments（系统梳理 Abelian 与 Tauberian 定理的成对关系与发展）
• E. C. Titchmarsh, Introduction to the Theory of Fourier Integrals（涉及与 Abel 型极限过程相关的结果与应用）