Algebraic Element

Definition / 释义

algebraic element（代数元素）：在代数学语境中常指某个代数结构中的元素（如群、环、域、代数中的元素）；在更专门的域论/代数数论中，常指对某个基域“代数的”元素，即它满足一个以该基域为系数的非零多项式方程（例如对有理数域 (\mathbb{Q}) 代数的元素）。
（注：不同教材中侧重点可能不同，但核心都与“由代数运算与多项式关系所刻画的元素”有关。）

Pronunciation / 发音

/ˌældʒɪˈbreɪɪk ˈɛlɪmənt/

Examples / 例句

Every element of a finite field is an algebraic element over its prime field.
有限域中的每个元素都相对于它的素域是代数元素。

Let α be an algebraic element over Q; then α satisfies a nonzero polynomial with rational coefficients.
设 α 是相对于有理数域 (\mathbb{Q}) 的代数元素，则 α 满足一个系数为有理数的非零多项式。

Etymology / 词源

algebraic 来自 algebra（代数），而 algebra 源于阿拉伯语 al-jabr，原意与“复原、补全（把移项视作补偿）”相关，常追溯到中世纪数学传统；element 源自拉丁语 elementum，有“基本成分、要素”之意。合起来 algebraic element 就是“代数意义下的一个要素/元素”，强调它受代数运算或多项式关系所约束。

Related Words / 相关词

• Algebraic
• Element
• Polynomial
• Root
• Field
• Extension
• Ring
• Group
• Algebra
• Transcendental

Literary Works / 文学与著作例证

• Algebra（Serge Lang）：在讨论域扩张与多项式时常使用 “algebraic element” 等表述。
• Abstract Algebra（Dummit & Foote）：在域、环与扩张章节中涉及“代数元素/代数扩张”的标准术语。
• Algebra（Michael Artin）：在抽象代数结构与相关构造中会以“element（元素）”为核心概念，并出现 “algebraic” 相关搭配。
• A Course in Arithmetic（Jean-Pierre Serre）：涉及代数数论基本概念时会讨论“代数（algebraic）”与元素满足多项式关系的思想。