Bilinear Form

释义 Definition

双线性形式：在线性代数中，指一个把两个向量（或更一般地，两个元素）作为输入、输出一个标量的函数 (B(u,v))，并且对每个变量分别都是线性的（固定另一个变量时呈线性）。常见于内积、矩阵表示、二次型与几何/物理中的配对（pairing）等。（在更广语境里也可指双线性映射，但最常见用法是指这种“形式”）

发音 Pronunciation (IPA)

/ˌbaɪˈlɪniər fɔːrm/

例句 Examples

A bilinear form takes two vectors and returns a number.
双线性形式以两个向量为输入并返回一个数。

In many applications, a bilinear form (B(x,y)) can be represented by a matrix (A) via (B(x,y)=x^{T}Ay), and properties like symmetry or nondegeneracy correspond to constraints on (A).
在许多应用中，双线性形式 (B(x,y)) 可用矩阵 (A) 表示为 (B(x,y)=x^{T}Ay)，而对称性或非退化性等性质对应于对 (A) 的约束。

词源 Etymology

bilinear 由 bi-（“二、两个”）+ linear（“线性的”）组成，字面意思是“对两个变量都线性”；form 在数学里常译为“形式”，强调它是一个把输入组合成标量的表达/函数（如“二次型 quadratic form”）。因此 bilinear form 就是“对两个自变量分别线性的（标量值）形式”。

相关词 Related Words

• Bilinear
• Linear
• Form
• Linear Map
• Inner Product
• Sesquilinear Form
• Quadratic Form
• Symmetric
• Nondegenerate
• Tensor Product

文学与著作 Literary Works

• Linear Algebra（Serge Lang）中系统讨论了双线性形式与对称/交替形式等主题。
• Linear Algebra Done Right（Sheldon Axler）在相关章节中涉及与内积、对偶空间相关的配对与形式概念。
• Algebra（Michael Artin）在向量空间与线性代数相关内容中使用并讨论双线性配对/形式。
• Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis（Reed & Simon）在泛函分析语境下频繁出现与双线性形式相关的表述（尤其与算子、能量形式等概念相连）。