Binomial Coefficient

释义 Definition

二项式系数：在二项式展开中各项前面的系数，常写作 \(\binom{n}{k}\)，表示“从 \(n\) 个元素中选 \(k\) 个”的组合数，也等于 \(\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\)。在组合数学、概率论与代数中非常常见。（在一些语境中也可泛指相关的“组合系数”。）

发音 Pronunciation (IPA)

/baɪˈnoʊmiəl ˌkoʊəˈfɪʃənt/

例句 Examples

\(\binom{5}{2}\) is a binomial coefficient.
\(\binom{5}{2}\) 是一个二项式系数。

In the expansion of \((x+y)^n\), the coefficient of \(x^k y^{n-k}\) is the binomial coefficient \(\binom{n}{k}\).
在 \((x+y)^n\) 的展开式中，\(x^k y^{n-k}\) 前面的系数是二项式系数 \(\binom{n}{k}\)。

词源 Etymology

binomial 来自拉丁语前缀 *bi-*（“二、两个”）与 nomial（与“名称/项”相关），在数学里指“含两项的多项式（如 \(x+y\)）”。coefficient 源自拉丁语 *co-*（“共同”）+ efficere（“产生、促成”），引申为“与某项一起起作用的数”，即“系数”。合在一起，binomial coefficient 就是“二项式展开中对应项的系数”。

相关词 Related Words

• Binomial
• Coefficient
• Combination
• Factorial
• Pascal’s Triangle
• Combinatorics
• Multinomial Coefficient
• Binomial Theorem

文学与经典著作 Literary Works

• Concrete Mathematics（Graham, Knuth, Patashnik）——在组合恒等式与计数问题中频繁使用二项式系数。
• Generatingfunctionology（Herbert S. Wilf）——在生成函数推导中常出现 \(\binom{n}{k}\)。
• An Introduction to the Theory of Numbers（Hardy & Wright）——在数论与组合相关章节会出现二项式系数与恒等式。
• Discrete Mathematics and Its Applications（Kenneth H. Rosen）——离散数学与组合计数部分系统讲解并大量使用二项式系数。