Endomorphism Ring

释义 Definition

Endomorphism ring（自同态环）：在代数结构（如群、模、向量空间或对象在某个范畴中）上，所有从该结构到其自身的同态（endomorphisms）所组成的集合；在“加法”取逐点相加（或在模情形取同态加法），“乘法”取函数复合的运算下，这个集合构成一个环。常记为 End(X) 或 **End_R(M)**。
（在不同语境下还有更细分的版本，如“自同态代数”“自同态半群”等，但最常见的是“自同态环”。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ˌɛn.doʊˈmɔːr.fɪ.zəm rɪŋ/

例句 Examples

For a vector space (V), the endomorphism ring (\mathrm{End}(V)) consists of all linear maps from (V) to itself.
对向量空间 (V) 来说，自同态环 (\mathrm{End}(V)) 由所有从 (V) 到自身的线性映射组成。

In module theory, the structure of the endomorphism ring (\mathrm{End}_R(M)) often reflects deep properties of (M), such as decompositions and symmetries.
在模论中，自同态环 (\mathrm{End}_R(M)) 的结构往往反映了 (M) 的深层性质，例如直和分解与对称性。

词源 Etymology

endomorphism 来自希腊语构词：endo-（“内部、在里面”）+ morphē（“形状、形式”），“-ism”表示名词化；整体意思是“把结构映到其自身内部的（同态）”。ring 在代数学中指满足加法与乘法（此处乘法常为“复合”）运算规则的“环”。

相关词 Related Words

• Algebra
• Endomorphism
• Homomorphism
• Automorphism
• Ring
• Module
• Linear Transformation
• Category

文学与经典著作 Literary Works

• Algebra — Serge Lang（常用 (\mathrm{End}(V))、(\mathrm{End}_R(M)) 讨论线性代数与模的结构）
• Rings and Categories of Modules — Frank W. Anderson & Kent R. Fuller（自同态环在模分解与表示中反复出现）
• Categories for the Working Mathematician — Saunders Mac Lane（范畴论语境下的 (\mathrm{End}(X)) 与自同态）
• An Introduction to Homological Algebra — Charles A. Weibel（同调代数中与 (\mathrm{End}) 相关的结构与应用）
• Introduction to Homological Algebra — Joseph J. Rotman（包含大量以自同态环为工具的论证与例子）