Euler Numbers

释义 Definition

Euler numbers（欧拉数）通常指一列在组合数学与数学分析中重要的整数序列，常记为 (E_n)。它们与函数展开密切相关，例如出现在 [ \sec x=\sum_{n\ge 0}(-1)^n E_{2n}\frac{x^{2n}}{(2n)!} ] 并且也可用于计数某些交错排列（alternating permutations / up-down permutations）的数量。
（注：在某些语境中，“Euler number(s)”也可能指拓扑中的欧拉示性数/欧拉数等概念，但“Euler numbers”作为复数形式更常指上述序列。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈɔɪlər ˈnʌmbərz/

例句 Examples

Euler numbers appear in the series expansion of secant and tangent functions.
欧拉数会出现在正割函数与正切函数的级数展开中。

In combinatorics, Euler numbers can be interpreted as counting alternating permutations, linking analytic generating functions with discrete counting.
在组合数学中，欧拉数可解释为对交错排列进行计数，把解析的生成函数与离散计数联系起来。

词源 Etymology

“Euler”来自18世纪瑞士数学家Leonhard Euler（莱昂哈德·欧拉）的姓氏，许多与他相关或由后人以其贡献命名的概念都会冠以“Euler”。“numbers”表示这是一组按索引排列的数列；欧拉数作为一个专门序列名称，主要在后来的分析与组合数学发展中被系统化与推广。

相关词 Related Words

• Bernoulli Numbers
• Stirling Numbers
• Alternating Permutation
• Generating Function
• Secant
• Tangent
• Maclaurin Series
• Euler Polynomials

文学与著作中的用例 Literary Works

• Concrete Mathematics（Graham, Knuth, Patashnik）——在生成函数、特殊数列与组合计数的语境中讨论相关序列（常与欧拉数、伯努利数等并列出现）。
• Combinatorial Enumeration（Ian P. Goulden, David M. Jackson）——在排列计数与相关生成函数章节中涉及与欧拉数紧密相关的对象（如交错排列）。
• An Introduction to the Analysis of Algorithms（Sedgewick, Flajolet）——在解析组合学/生成函数方法的背景下提及与正割、正切展开及相关数列的联系。