Gram-Schmidt

释义 Definition（中文）

Gram–Schmidt（格拉姆—施密特）正交化：线性代数中的一种过程，用来把一组线性无关的向量逐步变换为相互正交或正交归一（单位正交）的一组向量，同时张成同一个向量空间。常用于构造正交基、计算投影、以及推导 QR 分解。该术语在部分语境下也可泛指“正交化”的方法。

发音 Pronunciation（IPA）

/ˈɡræm ˈʃmɪt/

例句 Examples

We used Gram–Schmidt to turn these vectors into an orthonormal basis.
我们用格拉姆—施密特方法把这些向量变成一组正交归一基。

In numerical methods, Gram–Schmidt orthogonalization can be unstable unless modified, so many algorithms prefer a more robust variant.
在数值方法中，格拉姆—施密特正交化若不加改进可能不稳定，因此许多算法更偏好更稳健的变体。

词源 Etymology（中文）

Gram–Schmidt 是以两位数学家的姓氏命名：丹麦数学家 Jørgen Pedersen Gram（约根·佩德森·格拉姆） 与德国数学家 Erhard Schmidt（埃尔哈德·施密特）。该方法在研究内积空间与正交展开时逐步发展并被广泛采用，后来成为线性代数与数值线性代数中的基础工具。

相关词 Related Words

• Orthogonalization
• Orthonormal
• Orthogonal
• Projection
• Inner Product
• Basis
• Vector Space
• QR Decomposition

文学与名著作品 Literary Works（出现示例）

• Introduction to Linear Algebra（Gilbert Strang）：在正交性、正交基与 QR 分解相关章节中讲解 Gram–Schmidt。
• Linear Algebra Done Right（Sheldon Axler）：在内积空间与正交分解的语境中讨论正交化思想（常提及 Gram–Schmidt）。
• Matrix Computations（Gene H. Golub & Charles F. Van Loan）：在数值线性代数中系统比较经典与改进的 Gram–Schmidt 用法。
• Numerical Linear Algebra（Lloyd N. Trefethen & David Bau III）：在稳定性与算法实现的语境中介绍 Gram–Schmidt 及其变体。