Induced Norm

释义 Definition

诱导范数（也称从属范数/下属范数）：在线性代数与泛函分析中，由某个向量范数在线性算子或矩阵上“诱导”出来的范数。对矩阵 (A) 而言，诱导范数通常定义为
[ |A|=\max_{x\neq 0}\frac{|Ax|}{|x|} ] 直观上表示：矩阵 (A) 对向量长度（按所选向量范数度量）的最大放大倍数。常见特例包括由 (\ell_2) 向量范数诱导的 spectral norm（谱范数）。

发音 Pronunciation (IPA)

/ɪnˈdjuːst nɔːrm/

例句 Examples

The induced norm of a matrix measures how much it can stretch a vector.
矩阵的诱导范数衡量它能把向量“拉伸”到多大程度。

Using the induced norm (|A|=\max_{x\ne 0}|Ax|/|x|), we can bound the error growth in an iterative algorithm.
利用诱导范数 (|A|=\max_{x\ne 0}|Ax|/|x|)，我们可以给出迭代算法中误差增长的上界。

词源 Etymology

induced 来自拉丁语 inducere（引入、导致），在数学里常指“由已有结构自然导出/定义”。norm 来自拉丁语 norma（木匠用的直角尺、准则），后来引申为“标准、尺度”，在数学中表示“长度/大小的度量”。因此 induced norm 字面即“由某种度量规则导出的范数”。

相关词 Related Words

• Operator Norm
• Matrix Norm
• Vector Norm
• Subordinate Norm
• Spectral Norm
• Frobenius Norm
• Banach Space
• Linear Operator

文学与著作 Literary Works

• Matrix Analysis — Roger A. Horn & Charles R. Johnson（矩阵范数与从属/诱导范数的系统讨论）
• Matrix Computations — Gene H. Golub & Charles F. Van Loan（数值线性代数中用诱导范数进行误差与稳定性分析）
• Numerical Linear Algebra — Lloyd N. Trefethen & David Bau III（常用诱导范数/算子范数来给出界与估计）
• Introductory Functional Analysis with Applications — Erwin Kreyszig（将诱导范数作为算子范数在泛函分析框架中讲解）
• Convex Optimization — Stephen Boyd & Lieven Vandenberghe（在优化中涉及 (\ell_2) 诱导的谱范数等范数概念）