Linear Independence

Definition / 定义

（线性代数）线性无关：一组向量（或函数、方程等）中，没有任何一个可以用其他向量的线性组合表示。等价地说：只有当所有系数都为 0 时，它们的线性组合才可能得到零向量。常用于判断向量组是否构成基、矩阵列是否独立等。（也常简称为 independence，但在数学语境中通常说 linear independence。）

Pronunciation / 发音

/ˈlɪniər ˌɪndɪˈpɛndəns/

Examples / 例句

The vectors are linearly independent.
这些向量是线性无关的。

To prove linear independence, we show that the only solution to a₁v₁ + a₂v₂ + … + aₙvₙ = 0 is a₁ = a₂ = … = aₙ = 0.
为了证明线性无关，我们证明方程 a₁v₁ + a₂v₂ + … + aₙvₙ = 0 的唯一解是 a₁ = a₂ = … = aₙ = 0。

Etymology / 词源

linear 来自拉丁语 linea（“线、线条”），引申为“线性的、按直线关系的”。independence 来自 independent（不依赖的）+ 名词后缀 -ence。组合成 linear independence，字面意思是“在线性组合意义下的不依赖”，即“不靠其他向量的线性组合而成立”。

Related Words / 相关词汇

• Basis
• Span
• Vector
• Matrix
• Rank
• Null Space
• Determinant
• Orthogonal
• Eigenvector

Literary Works / 文献与作品中的用例

• Linear Algebra Done Right（Sheldon Axler）——在讨论向量空间、基与线性变换时反复使用 “linear independence”。
• Introduction to Linear Algebra（Gilbert Strang）——用 “linear independence” 解释列空间、秩与解的结构。
• Linear Algebra and Its Applications（David C. Lay 等）——在向量组、基、维数等核心章节系统出现。
• Finite-Dimensional Vector Spaces（Paul R. Halmos）——以更偏理论的方式讨论线性无关与基的关系。