Multilinear Algebra

定义 Definition

多重线性代数：研究“对多个变量分别都是线性的函数与结构”的代数分支。它常围绕多线性映射（multilinear maps）、张量（tensors）、外积/楔积（exterior/wedge product）等概念，用来描述向量空间之间更高阶的线性关系。（在更广泛语境中也会与张量代数、外代数等密切相连。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ˌmʌltiˈlɪniər ˈældʒɪbrə/

例句 Examples

Multilinear algebra helps us understand tensors.
多重线性代数帮助我们理解张量。

In differential geometry and physics, multilinear algebra provides the language for expressing bilinear forms, determinants, and tensor contractions in a coordinate-free way.
在微分几何和物理中，多重线性代数提供了一种语言，用不依赖坐标的方式表达双线性形式、行列式以及张量缩并。

词源 Etymology

multilinear 由 multi-（“多、多个”）+ linear（“线性的”）构成，字面意思是“多变量分别线性”。algebra 源自阿拉伯语 al-jabr，经中世纪拉丁语进入英语，原义与“复原、整合”相关，后来指代更广义的代数学科。合在一起，multilinear algebra 即“研究多线性对象的代数”。

相关词 Related Words

• Tensor
• Multilinear
• Bilinear
• Linear
• Determinant
• Exterior
• Wedge
• Alternating
• Contraction
• Dual

文学与经典著作中的出现 Literary Works

• Linear Algebra Done Right（Sheldon Axler）：在讨论外代数、行列式与相关结构时常涉及多线性观点与语言。
• Algebra（Serge Lang）：包含与张量、外代数等相关内容，常以多线性框架组织若干章节。
• Tensor Analysis on Manifolds（Richard L. Bishop & Samuel I. Goldberg）：以张量与多线性映射为核心工具，体现多重线性代数在几何中的用法。
• Principles of Mathematical Analysis（Walter Rudin）：在多元微积分与线性/多线性结构的衔接处，会使用多线性思想来表达高阶对象（如微分的多线性性质）。