Singular Value

定义 Definition

singular value（奇异值）：在线性代数中，对一个矩阵 (A) 做奇异值分解（SVD）时得到的一组非负数，通常记为 (\sigma_1 \ge \sigma_2 \ge \cdots \ge 0)。它们衡量矩阵在不同方向上对向量“拉伸/压缩”的强度；等价地，奇异值是 (A^\mathsf{T}A)（或 (AA^\mathsf{T})）的特征值的平方根。
（该术语也常用于数据降维、噪声过滤、矩阵近似与数值稳定性分析。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈsɪŋɡjələr ˈvæljuː/

例句 Examples

The largest singular value tells how much the matrix can stretch a vector.
最大的奇异值说明这个矩阵最多能把一个向量拉伸到多大。

Using the top few singular values, we can build a low-rank approximation that reduces noise while preserving the main structure of the data.
利用前几个奇异值，我们可以构造低秩近似，在保留数据主要结构的同时降低噪声。

词源与来历 Etymology

singular 原意为“单一的、特殊的”，在数学里常与“奇异/退化（singular）”相关；value 为“数值”。“奇异值”这一译法源于它与“奇异（非满秩、不可逆等）”现象密切相关：当矩阵存在退化方向时，会出现很小甚至为 0 的奇异值，从而揭示矩阵的秩与稳定性等性质。

相关词 Related Words

• Singular Value Decomposition
• Eigenvalue
• Eigenvector
• Matrix
• Rank
• Norm
• Spectral Norm
• Condition Number
• Orthogonal
• Diagonal Matrix
• Low-rank Approximation
• Principal Component Analysis

文献与著作中的用例 Works

• Matrix Computations（Gene H. Golub, Charles F. Van Loan）——系统讲解奇异值与SVD在数值线性代数中的核心地位。
• Introduction to Linear Algebra（Gilbert Strang）——用直观方式解释奇异值、几何意义与应用。
• Numerical Linear Algebra（Lloyd N. Trefethen, David Bau III）——讨论奇异值与稳定性、条件数、算法分析的联系。
• Numerical Recipes（Press 等）——在计算方法章节中使用奇异值进行拟合、反问题与去噪。