Supporting Hyperplane

定义 Definition

Supporting hyperplane（支撑超平面）：在几何与凸分析中，指一条（或一个）与集合（常见为凸集）相切的超平面，使得该集合完全位于超平面的一侧或在超平面上。它“支撑”着集合，但不把集合切开。该术语常用于描述凸集的边界性质与最优化中的约束几何。

发音 Pronunciation (IPA)

/səˈpɔːrtɪŋ ˈhaɪpərpleɪn/

词源 Etymology

supporting 来自 support（支持、支撑），表示“托住、顶住”的作用；hyperplane 由 *hyper-*（“超越、在……之上”，用于表示高维）+ plane（平面）构成，指高维空间中的“平面”（在 (n) 维空间中维数为 (n-1) 的仿射子空间）。合起来即“在高维中支撑一个集合的平面”。

例句 Examples

A supporting hyperplane touches the convex set at a boundary point.
支撑超平面在边界点处与凸集相切。

By the supporting hyperplane theorem, we can separate a point outside a closed convex set from the set with a supporting hyperplane.
根据支撑超平面定理，我们可以用一个支撑超平面把闭凸集与其外部的点分离开来。

相关词 Related Words

• Convex
• Convex Set
• Hyperplane
• Tangent Plane
• Separating Hyperplane
• Subgradient
• Duality

文学/经典著作中的用例 Literary Works

• Convex Analysis（R. Tyrrell Rockafellar）——系统讨论支撑超平面与分离定理，是凸分析经典教材。
• Convex Optimization（Stephen Boyd & Lieven Vandenberghe）——在凸优化的几何解释中频繁使用 supporting hyperplane（如最优性条件、对偶性直观）。
• Convex Bodies: The Brunn–Minkowski Theory（Rolf Schneider）——在凸几何语境下讨论支撑超平面与支撑函数等概念。