Vector Norm
定义 Definition
vector norm（向量范数）：一种把向量映射为非负实数的函数，用来衡量向量的“长度/大小”。在数学上通常要求满足三条性质：
- 正定性（只有零向量的范数为 0）
- 齐次性（||a·v|| = |a|·||v||）
- 三角不等式（||u+v|| ≤ ||u|| + ||v||）
常见范数包括 ℓ1 范数、ℓ2（欧几里得）范数、ℓ∞ 范数等。（在不同语境下也可能泛指“矩阵范数”等相关概念。）
发音 Pronunciation (IPA)
/ˈvɛktər nɔːrm/
例句 Examples
Compute the vector norm of v.
计算向量 v 的范数。
In numerical analysis, choosing an appropriate vector norm helps quantify the error between an approximation and the true solution.
在数值分析中，选择合适的向量范数有助于量化近似解与真实解之间的误差。
词源 Etymology
vector 源自拉丁语 vector，本义是“搬运者、携带者”，后来在数学与物理中引申为“具有方向与大小的量”。norm 源自拉丁语 norma，原意为“木工用的规尺/矩尺、准则”，进入数学后表示“衡量大小的标准”，因此 vector norm 就是“衡量向量大小的标准”。
相关词 Related Words
文献与著作 Notable Works
- Linear Algebra Done Right（Sheldon Axler）中系统使用并讨论向量范数与相关不等式
- Introduction to Linear Algebra（Gilbert Strang）中以范数解释长度、距离与线性代数应用
- Convex Optimization（Boyd & Vandenberghe）中大量出现向量范数（如 ℓ1、ℓ2）用于建模与正则化
- Numerical Linear Algebra（Trefethen & Bau）中用范数分析误差、稳定性与算法收敛性
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