Weierstrass Function

释义 Definition

魏尔斯特拉斯函数：数学分析中的经典“反例”之一，最常见指一类处处连续但处处不可导的函数（常用无穷级数构造），用来说明“连续”并不必然意味着“可导”。
（注：在另一些语境里也可能指魏尔斯特拉斯椭圆函数中的 Weierstrass ℘-function，但日常提到 Weierstrass function 多指上述不可导的连续函数。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈvaɪərstræs ˈfʌŋkʃən/

例句 Examples

The Weierstrass function is continuous everywhere.
魏尔斯特拉斯函数处处连续。

By choosing suitable parameters, the Weierstrass function becomes a classic example of a curve that is continuous yet nowhere differentiable.
通过选择合适的参数，魏尔斯特拉斯函数成为“连续但处处不可导”的经典曲线例子。

词源 Etymology

该术语来自德国数学家卡尔·魏尔斯特拉斯（Karl Weierstrass）。他在19世纪给出了著名构造，用来反驳当时人们对“连续函数通常应当可导”的直觉，从而推动了现代实分析对严密性与反例方法的重视。

相关词 Related Words

• Continuous
• Differentiable
• Nowhere-Differentiable
• Uniform-Convergence
• Fourier-Series
• Fractal
• Real-Analysis
• Counterexample

文学与名著中的用例 Literary Works

• Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis（《数学分析原理》）：在讨论连续性、可导性与反例时常提及魏尔斯特拉斯式的构造与思想。
• G. M. Fichtenholz, Differential and Integral Calculus（《微积分学》）：在“反例/病态函数”相关内容中会介绍类似的处处连续但处处不可导的函数。
• Bernard R. Gelbaum & John M. H. Olmsted, Counterexamples in Analysis（《分析中的反例》）：收录并讨论与魏尔斯特拉斯函数相关的经典反例类型。