[1]:
https://zh.numberempire.com/limitcalculator.php ""
[2]:
https://zhuanlan.zhihu.com/p/381163118 ""
[3]:
https://www.zhihu.com/question/51565064 ""
[4]:
https://zhidao.baidu.com/question/924611196728740179.html ""
[5]:
https://zhidao.baidu.com/question/622785830157996292.html ""
当 \( x \) 趋近于 0 和正无穷时，函数 \( y = x \ln(1+\frac{1}{x}) \) 的极限可以通过洛必达法则或等价无穷小的概念来求解。下面是这两个极限的计算过程：
1. 当 \( x \) 趋近于 0 时：
由于 \( \frac{1}{x} \) 趋近于无穷大，\( 1+\frac{1}{x} \) 趋近于无穷大，所以 \( \ln(1+\frac{1}{x}) \) 趋近于 0 。因此，\( y \) 的极限是 \( 0 \)。
2. 当 \( x \) 趋近于正无穷时：
我们可以使用洛必达法则，因为 \( x \) 和 \( \ln(1+\frac{1}{x}) \) 都趋近于无穷大。通过对分子和分母同时求导，我们可以得到极限值。
具体计算如下：
- 对于 \( x \) 趋近于 0 的情况：
$$ \lim_{x \to 0} x \ln(1+\frac{1}{x}) = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}} $$
应用洛必达法则，得到：
$$ \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1+\frac{1}{x}} \cdot (-\frac{1}{x^2})}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{1+\frac{1}{x}} = 1 $$
- 对于 \( x \) 趋近于正无穷的情况：
$$ \lim_{x \to \infty} x \ln(1+\frac{1}{x}) = \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(1+\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}} $$
同样应用洛必达法则，得到：
$$ \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1+\frac{1}{x}} \cdot (-\frac{1}{x^2})}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{1+\frac{1}{x}} = 1 $$
因此，当 \( x \) 趋近于 0 和正无穷时，\( y = x \ln(1+\frac{1}{x}) \) 的极限都是 1 。
源: 与必应的对话，2024/4/26
(1) 极限计算器 - 数字帝国.
https://zh.numberempire.com/limitcalculator.php.
(2) 2022 考研数学复习指导：求极限的 16 种方法总结及例题 ....
https://zhuanlan.zhihu.com/p/381163118.
(3) Lim （ x 趋向正无穷）（ 1+1/x ） x 次方=e 那当 x 趋向于 0 时 ....
https://www.zhihu.com/question/51565064.
(4) lim(x→0) ln(1+x)/x 求极限，不要用洛必达法则，请写下 ....
https://zhidao.baidu.com/question/924611196728740179.html.
(5) lnx 在 x 趋于零时的极限_百度知道.
https://zhidao.baidu.com/question/622785830157996292.html.
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