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Tiaa
V2EX  ›  数学

证明题!要过程(有人会吗)

  •  
  •   Tiaa · 2023-10-15 11:21:14 +08:00 · 2522 次点击
    这是一个创建于 382 天前的主题,其中的信息可能已经有所发展或是发生改变。
    证明对任意常数 K ,logkN = o(N)
    20 条回复    2023-10-15 22:08:10 +08:00
    zmxnv123
        1
    zmxnv123  
       2023-10-15 11:50:15 +08:00
    要证明对于任意常数 K ,logkN = o(N),我们需要使用大 O 符号的定义并应用极限的概念。

    根据定义,我们需要证明对于任意常数 K ,存在一个正常数 c ,使得当 N 足够大时,有 |logkN| ≤ c|N|。

    我们来思考 logkN 和 N 之间的关系。可以使用对数性质将其转化为 k^logkN = N 。 这表示 N 是以 k 为底的 k^logkN 的幂。

    接下来,我们将考虑两种情况:当底数 k 大于 1 和 k 等于 1 时。

    1. 当底数 k 大于 1 时:
    由于对数函数的增长性质,我们可以得到 logkN ≤ N for all N > 0 。这意味着对于任意常数 K 和 N ,我们有 logkN ≤ N 。因此,我们可以选择 c = 1 来满足不等式 |logkN| ≤ c|N|,因为 logkN 的增长速度小于或等于 N 的增长速度。

    2. 当底数 k 等于 1 时:
    由于 log1N = 0 for all N > 0 ,我们可以将不等式变为 |log1N| ≤ c|N|。由于 log1N 在任意 N 的范围内都是常数 0 ,我们可以选择任意正常数 c 来满足不等式。

    综上所述,对于任意常数 K ,logkN = o(N) 成立。
    ----------------------------------------------------------
    powerd by ChatGPT
    vituralfuture
        2
    vituralfuture  
       2023-10-15 12:10:43 +08:00 via Android
    大 O 符号描述的是函数的上界。logkN=logk+logN ,取 N 到正无穷的极限,小于 N ,所以 logkN=O(N)
    geelaw
        3
    geelaw  
       2023-10-15 12:24:49 +08:00 via iPhone
    @zmxnv123 #1 ChatGPT 做证明题经常生成胡言乱语,可以作为很好纠错练习生成器。

    @vituralfuture #2 o 和 O 是两个概念。

    最后回楼主:K 和 k 什么关系啊?另外作业题请自己做。
    sylxjtu
        4
    sylxjtu  
       2023-10-15 12:29:16 +08:00 via Android
    洛必达法则 lim N \to \infty logkN/N = lim N \to \infty (1/N)/1 = \lim N \to \infty N 趋向于正无穷,根据小 o 符号定义即为所证
    Tiaa
        5
    Tiaa  
    OP
       2023-10-15 13:26:45 +08:00
    @geelaw 回复一下,这确实是一个作业题,只是不太了解应该怎么具体去实现(太久没有学数学了),所以才想着看看大家的做题思路。
    Kirscheis
        6
    Kirscheis  
       2023-10-15 13:44:52 +08:00
    这是一个定义习题,应该是刚学小 o 标记的习题。小 o 标记的意思就是只要 N 充分大,函数与小 o 记号内函数的比值趋于 0 。

    所以对任意 c∈R ,求 log(kN)/(cN) 当 N ➡ +∞ 时的极限即可,由于此时上下都➡ +∞,可以用洛必达法则求极限,得到结果为 0 ,按定义即得证。
    yolee599
        7
    yolee599  
       2023-10-15 14:10:16 +08:00 via Android
    @zmxnv123 #1 这个过程你验证过吗?另外 v 站禁止发 AI 生成的内容,会被站长 ban
    geelaw
        8
    geelaw  
       2023-10-15 14:21:25 +08:00 via iPhone
    @Tiaa #5 但你依然没有解释 K 和 k 有什么关系。数学符号的大小写不可以互换,意思不同。另外 logkN 的含义也不明确,有人理解为 log_k N ,有人理解为 log kN ,后一种情况你也没有说 log 的底数(数学文本中会默认是自然对数)——虽然底数对这个结论没有影响,但是既然你在练习定义,最好把每一步都做得比较明确。

    作为作业题,你可以先从你会的开始,比如背诵一遍 o 的定义,然后你就会发现要做这个证明,只需要实现它的定义。试试看?
    chitanda
        9
    chitanda  
       2023-10-15 15:59:12 +08:00
    ispinfx
        10
    ispinfx  
       2023-10-15 17:02:05 +08:00 via iPhone
    @zmxnv123 你号没了
    zmxnv123
        11
    zmxnv123  
       2023-10-15 17:18:47 +08:00
    @ispinfx 最好是,我还想销号呢
    Tiaa
        12
    Tiaa  
    OP
       2023-10-15 20:05:53 +08:00
    @
    @geelaw 你好,感谢你的耐心回复。关于 K 和 k 的关系,只是一开始为了区分 k 是为真数,然而当时我输入时没有找到该输入的符号,因此用 k 来输出,可以看作 K 和 k 都为一个任意常数进行计算。并且我会试着用您所说的 o 的定义再去证明看看的。
    Tiaa
        13
    Tiaa  
    OP
       2023-10-15 20:18:36 +08:00
    @geelaw 如果您不介意,有时间,可以为我写一份详细一点的纸面过程吗,感谢您的时间
    LaTero
        14
    LaTero  
       2023-10-15 20:39:46 +08:00 via Android
    k 是无所谓的,换底公式就变成一个系数了,还是符合大 O 。然后注意 ln(n)/n = ln(n^(1/n)),再求 n^(1/n)的极限,这个极限一般教材例题就有。
    LaTero
        15
    LaTero  
       2023-10-15 20:49:30 +08:00 via Android
    lim log_k(n)/n = lim log_k(n^(1/n) = log_k(lim n^(1/n)) = log_k(1) = 0
    lance6716
        16
    lance6716  
       2023-10-15 20:51:22 +08:00 via Android
    op 成功证明了,如果一个人能把问题定义清楚,他大概率就能自己解决问题。连哪里有歧义都意识不到大概率是没法解决问题的
    LaTero
        17
    LaTero  
       2023-10-15 20:52:58 +08:00
    说实话你这个问题有点太基础了,建议好好补一补基础。数学问题最好去 math.stackexchange.com 查。https://math.stackexchange.com/questions/1642671/prove-lim-n-to-infty-frac-lnnn-0-without-lhospitals-rule
    Tiaa
        18
    Tiaa  
    OP
       2023-10-15 21:40:43 +08:00
    @lance6716 别骂了别骂了 [流汗流汗] 确实是小菜鸡一枚,太久没学过数学了
    Tiaa
        19
    Tiaa  
    OP
       2023-10-15 21:40:56 +08:00
    @LaTero 好的好的,感谢你
    bravecarrot
        20
    bravecarrot  
       2023-10-15 22:08:10 +08:00
    logkN = logk + logN 显而易见了啊
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