ipwx
2017-09-02 10:01:38 +08:00
无论你用什么表示方式，分式也好，十进制小数也好，九进制小数也罢，都只是某个“数”的表示方式。
我们首先假定“整数”是不言而喻的，你我都清楚“整数”的概念。通过除法可以从整数派生出有理数。然而当你研究有理数的无穷序列的时候，发现不是所有满足柯西收敛准则的有理数序列（简称柯西序列）都能在有理数里面找到收敛的极限。比如我先写一个 3，再写一个 3.1，然后写 3.14 ，以此类推…… 你会发现明明有限步操作内，每一个写出来的数字都是有理数，但是当我把它无限写下去，却不是一个有理数。
因为找不到任何一个整数除以整数，等于这个无限的不循环的小数。
因此我们需要延拓有理数域，引入无理数这个概念。有理数和无理数加起来就是实数域。实数域满足任意柯西序列都能在实数域中找到收敛到的极限，即无穷序列的很多操作都是良定义的。
所以实数的定义根基是无穷序列的收敛。用收敛的语言来看，如果两个实数 |a-b| < epsilon （即两个数的差小于任何大于零的数），那么这 a 和 b 就代表了同一个数，无论你用什么方式去表达这两个数。因为不存在一个小于“大于零的任何数”的实数。譬如 0.999999.... （零点九九循环）和 1 就是同一个数。
这些都是实分析的内容，楼主有兴趣可以去学一学。