Bounded Function

定义 Definition

bounded function（有界函数）：在其定义域上，函数的取值不会无限增大或减小；也就是说，存在某个实数 M > 0，使得对所有自变量 (x) 都有 (|f(x)| \le M)。在实分析、函数空间与微积分中非常常见。（在更一般的度量空间/赋范空间里，也可用“存在统一上界”的方式表述。）

例句 Examples

A constant function is a bounded function.
常函数是有界函数。

If a function is continuous on a closed interval ([a,b]), then it is a bounded function.
如果一个函数在闭区间 ([a,b]) 上连续，那么它就是有界函数。

发音 Pronunciation

/ˈbaʊndɪd ˈfʌŋkʃən/

词源 Etymology

bounded 来自 bound（界限、边界）+ -ed（表示“被……限制/有……界”的形容词后缀），含义是“有边界的、受限的”。
function 源自拉丁语 functio（履行、执行），在数学语境中发展为“函数/作用关系”。合起来 bounded function 即“取值被某个界所限制的函数”。

相关词 Related Words

• Bounded
• Unbounded
• Continuous Function
• Uniformly Bounded
• Supremum
• Range
• Limit
• Convergent

文学与典籍 Literary Works

• Principles of Mathematical Analysis（Walter Rudin）：在实分析中频繁使用“bounded function/有界函数”的概念来讨论连续性、收敛与函数列。
• Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces（Stein & Shakarchi）：在积分与函数空间背景下讨论有界性与相关定理。
• Calculus, Vol. 1（Tom M. Apostol）：在闭区间连续函数性质等内容中常提到有界性结论。