Contour Integral

释义 Definition

Contour integral（轮廓积分/路径积分）是复分析中的一种积分：把复函数沿着复平面上一条给定的曲线（轮廓）进行积分，通常记作 (\int_C f(z),dz)。它常用于计算复杂积分、研究解析函数性质，并在留数定理等工具中起核心作用。（在更广义的语境里，它也可被视为“沿曲线的线积分”的复数版本。）

例句 Examples

We computed the contour integral around the circle.
我们计算了沿圆周的轮廓积分。

By choosing a keyhole contour, the contour integral can be related to a real improper integral and evaluated using the residue theorem.
通过选取“钥匙孔”轮廓，可以把轮廓积分与一个实数的广义反常积分联系起来，并用留数定理求值。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈkɑnˌtʊr ˈɪn.tɪ.ɡrəl/（美式常见）
/ˈkɒn.tʊər ˈɪn.tɪ.ɡrəl/（英式常见）

词源 Etymology

Contour 源自法语 contour，意为“轮廓、外形边界”，来自 *con-*（一起）+ tour（转、绕行）这一词根概念，暗含“沿边界绕一圈”的感觉；integral 来自拉丁语 integer（完整的），引申为“整体求和/累积”的数学意义。合起来，contour integral 就是“沿着某条轮廓进行的整体累积（积分）”。

相关词 Related Words

• Complex Analysis
• Line Integral
• Cauchy Integral Formula
• Residue Theorem
• Analytic Function
• Closed Curve
• Jordan Curve
• Parametrization

文学与名著用例 Literary / Notable Works

• Lars V. Ahlfors, Complex Analysis（《复分析》）：在柯西积分定理、柯西积分公式等章节中系统使用并定义轮廓积分。
• James Ward Brown & Ruel V. Churchill, Complex Variables and Applications（《复变函数及其应用》）：大量例题通过选取轮廓来计算 contour integrals 并引入留数法。
• Tristan Needham, Visual Complex Analysis（《可视化复分析》）：用几何直观解释沿曲线积分与解析性的关系，频繁出现 contour integral。
• George B. Arfken & Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists（《物理学家用数学方法》）：在用复分析求实积分、处理物理问题时常用轮廓积分方法。