Picard Iteration

释义 Definition

皮卡迭代（Picard iteration）：一种用反复代入/逐次逼近来构造方程解的迭代方法，常用于常微分方程（ODE）的初值问题与积分方程。典型形式是把问题改写为不动点方程 (x = T(x))，然后从初值 (x_0) 出发，定义
[ x_{n+1}=T(x_n) ] 在合适条件下（如压缩映射），迭代可收敛到真实解。该术语也常被称为 successive approximations（逐次逼近）。

发音 Pronunciation (IPA)

/pɪˈkɑːr ˌɪtəˈreɪʃən/

例句 Examples

We used Picard iteration to approximate the solution of the integral equation.
我们用皮卡迭代来近似求解这个积分方程。

Under a Lipschitz condition, Picard iteration converges to the unique solution of the initial value problem.
在满足利普希茨条件时，皮卡迭代会收敛到该初值问题的唯一解。

词源 Etymology

“Picard”来自法国数学家埃米尔·皮卡（Émile Picard）的姓氏；“iteration”源自拉丁语 iterare，意为“重复、再做一次”。“Picard iteration”因此直译为“皮卡提出/使用的重复迭代方法”，在微分方程存在唯一性理论（与不动点思想）中尤为常见。

相关词 Related Words

• Banach Fixed Point Theorem
• Contraction Mapping
• Fixed Point
• Successive Approximation
• Integral Equation
• Initial Value Problem
• Lipschitz Condition
• Convergence
• Iterative Method
• Newton's Method

文学与经典著作 Notable Works

• Earl A. Coddington & Norman Levinson, Theory of Ordinary Differential Equations（常用来介绍用皮卡迭代证明ODE解的存在唯一性）
• V. I. Arnold, Ordinary Differential Equations（微分方程教材中常讨论逐次逼近/皮卡方法）
• Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations（在相关分析工具与不动点方法背景下提及类似迭代思想）
• Michael Renardy & Robert C. Rogers, An Introduction to Partial Differential Equations（在解的构造与迭代框架中出现该术语或等价方法）