Sup Norm

定义 Definition

sup norm（也作 supremum norm）指一个函数在其定义域上“最大绝对值”（更准确说是上确界）所给出的范数：
[ |f|{\infty} = \sup{x} |f(x)| ] 常用来衡量函数的“最坏情况”大小；在很多语境下与 infinity norm（无穷范数）、uniform norm（一致范数）同义（在适当条件下）。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈsʌp nɔːrm/

例句 Examples

We measure the error in the sup norm.
我们用上确界范数（sup norm）来衡量误差。

In (C([0,1])), convergence in the sup norm implies uniform convergence.
在 (C([0,1])) 中，按上确界范数收敛会推出一致收敛。

词源 Etymology

sup 是 supremum 的缩写，源自拉丁语，含义与“最高的、最上面的”相关；在数学里 supremum 表示“上确界”。norm 源自拉丁语 norma（木匠用的“矩尺/规范”），引申为“标准、度量”，在现代数学中专指满足一定性质的“范数”。

相关词 Related Words

• Supremum
• Infinity Norm
• Uniform Norm
• Lp Norm
• Uniform Convergence
• Banach Space
• Bounded Function
• Essential Supremum

文学与名著中的用例 Literary Works

• Functional Analysis（Walter Rudin）——在讨论函数空间与算子时频繁使用 sup norm/∞-norm 的概念。
• Introductory Functional Analysis with Applications（Erwin Kreyszig）——以较直观方式介绍包括 sup norm 在内的常见范数与一致收敛。
• Partial Differential Equations（Lawrence C. Evans）——在估计解的大小与一致有界性时常借助 (|\cdot|_\infty)（sup norm）。