更正一下 3 ，向量长度和弧长是两码事，不信你自己画个离散版本的，向量（ 1 ，1 ，1 ）的模长和（ sqrt （ 2 ），1 ，0 ）一样，但是看图像的话，第一个是横轴为 0 ，1 ，2 ，的（ 0 ，1 ），（ 1 ，1 ），（ 2 ，1 ），连起来是个水平的线，弧长为 3 ，第二个是（ 0 ，sqrt （ 2 ）），（ 1 ，1 ），（ 2 ，0 ），连起来就一根折线。

1-2 看英语课程就请学英语术语体系，找些实分析 /复分析 /线性代数 /概率论或者一些物理教材，尤其是量子力学啥的，看英文教材的 index 部分，找 normlize 出现在哪，然后看看具体是个什么操作，你能理解这个术语是怎么用的，就知道这是咋回事了。
3 ，向量长度和弧长是两码事，不信你自己画个离散版本的，向量（ 1 ，1 ，1 ）的模长和（ sqrt （ 2 ），1 ，0 ）一样，但是看图像的话，第一个是横轴为（ 0 ，1 ），（ 1 ，1 ），（ 2 ，1 ），连起来是个水平的线，弧长为 3 ，第二个是（ 0 ，sqrt （ 2 ）），（ 1 ，1 ），（ 2 ，0 ），连起来就一根折线。
4 ，存在，就这么定义的
5 ，找本 stein 的关于 fourier analysis 的书，具体看看傅里叶变换 /级数的定义和成立的条件。这东西有严格的数学定义的。
6 ，泛函分析。不过在这之前请认真学完实分析和复分析。
P.S. 话说在这看你学数学时间都按年算了，认真搞完这几门课好像也就这些时间，为啥现在还在看基础讲义，卡在基础概念的问题上，而且还在不断尝试往直观图像上套一些复杂的逻辑。现代数学本身就是脱离直观图像的复杂逻辑，本身就是一个抽象的玩意儿，而且具备很多直观图像没有的东西。为啥还要一直尝试把一个抽象复杂的概念硬套回具象简单的图像？要是为了搞 gay 器学习啥的简单用用，就赶紧的学点线代概率啥的有个基本基础开工了~

我给你准备了一份惊喜大礼，你猜猜是什么呀～
然后根据经济实力，可以考虑回答“不对”让她再选。最后她猜什么你买什么。

如果她猜“是不是告白的网页”的话，你就算用违法手段也绝对不要放走这个姑娘。

@LeeReamond kernal density estimation ，你就简单理解是和 histogram 差不多的东西就行。我看你引用的帖子里是颜色分布，分布一般用 histogram 直方图，binsize 不一样结果差异很大。kde 也是用来求解分布的，只是他用一个核函数，histogram 可以粗略一点理解是用一个宽度是 binsize 的方波函数当 kernel ，kde 一般用 gauss 当核函数，相比 histogram 求出的分布本身就会更加的连续和平滑，bw 可以理解为 kernel 函数的“binsize”，具体你可以参考一下 scipy 的 gaussian_kde ，一般默认参数的输出结果就会很好。

1.试试其他卷积核，比如钟形窗
2.如果是分布数据，别用 histogram ，试试不同 bw 的 kde

这个……我觉得你可能需要考虑一下这个
scipy.optimize.brute

或者考虑重新规划你的问题，如果你只有某些变量是离散的，那就把离散的变量当作参数然后对所有可能进行遍历，也就是给定每一个可能的值，然后对其他变量进行优化，最后对比哪个参数下函数值最小。

decaf 咖啡，有脱咖啡因的咖啡。试过，雀巢 Gold 里有一个无咖啡因的，你上马首富宝搜一下，这个味道不错，可以自己配点奶油球和方糖。

来，跟我读，在“六、指数形式的傅里叶变换”海螺图出现的下方：

是不是很漂亮？

你猜猜，这个图形在时域是什么样子？

[方波插图]

哈哈，是不是觉得被狠狠扇了一个耳光。数学就是这么一个把简单的问题搞得很复杂的东西。

顺便说一句，那个像大海螺一样的图，为了方便观看，我仅仅展示了其中正频率的部分，负频率的部分没有显示出来。

如果你认真去看，海螺图上的每一条螺旋线都是可以清楚的看到的，每一条螺旋线都有着不同的振幅（旋转半径），频率（旋转周期）以及相位。而将所有螺旋线连成平面，就是这幅海螺图了。

好了，讲到这里，相信大家对傅里叶变换以及傅里叶级数都有了一个形象的理解了，我们最后用一张图来总结一下：

[插图]

好了，傅里叶的故事终于讲完了，下面来讲讲我的故事：

并没有屏蔽，我只是想强调一下。sq 。。。那个是方波的傅立叶逆变换形式。海螺图里竖起来的轴是时间，横纵轴是实部和虚部。你倒是看看人原帖啊，写得很清楚啊。

欧拉函数 exp(it)是随时间周期圆周运动的点的轨迹，把时间轴拉开是***一条***螺线。这个明显是一堆螺线的累积，是***方波***对应的所有的 exp(iwt)，即 sqwave[t] = int_w f_w exp(iwt) 里每一个 f_w exp(iwt) 的累计，你读读你引用的这个知乎啊。

是不是少了 return ？（在 else 和 aa2 里）

@Richard14 我的回复好像有点脑残……你是要判断相似性或者说距离的话算法是不一样的，如果是距离那么直接 np.argmin(np.sum((a-b) ** p, axis=-1))，比如 p=2 是欧式距离。我写的是 cos(theta)，做距离的话一般是 1 - cos(theta) 啥的，这个你自己调整一下吧。numpy 是很炫酷的。

@Richard14 假设十个向量的形状是 a=(10, N)，目标向量是 b=(N,)，你可以用 np.einsum：

ret_index = np.argmin(np.einsum('ij,j->i', a,b)/np.linalg.norm(a, axis=-1)/np.linalg.norm(b, axis=-1))
ret_vec = a[ret_index]

这个简洁但是会比较慢，可以考虑用 numba 的 guvectorize
from numba import float64, guvectorize
@guvectorize([(float64[:, :], float64[:], float64[:])],'(n,p),(p)->(n)', target='parallel') # target = 'cpu', 'gpu'
....def batch_dot(a, b, ret):
........for i in range(a.shape[0]):
........t1=t2=t3=0
............for j in range(a.shape[1]):
................t1 += a[i, j] * b[j]
................t2 += a[i, j] * a[i, j]
................t3 += b[j] * b[j]
............ret[i] = t1 / t2**0.5/t3**0.5
ret = batch_dot(a,b)

np.cov(x, y, ddof=0)
# 11.44 1.16
# 1.16 14.24

cov 是所有的都算的，矩阵是 xx, xy, yx, yy ，你需要的仅是 xy ，你就直接 np.mean((a-a.mean())*(b-b.mean())) 就行了。另外，关联性一般用 correlate ，协方差(ddof=0)应该是关联函数的第一个值，后面可以看到衰减。

@SIEMENS +1s +1s +1s

官方好像只有那个加长线上带三相头

1. P 里每一个向量维度都是 N
2. 我相信构造方法课里有，用一般关系写不下，举个 4x4 的例子：
f(a,b,c,d) = (0,a,d,0)
则存在 f^2 = 0 ，f 的 nilpotent index 为 2
w_1 = Ker f = {(0,b,c,0)}
w_2 = Ker f^2 = (a,b,c,d)
令 b_1 为 w_1 的基，则 b_1 = (0,1,0,0) (0,0,1,0)
令 t_2 为 w_2/w_1 的基，则 t_2 = (1,0,0,0) (0,0,0,1)
f(t_2) = (0,1,0,0) (0,0,1,0)
于是
t_2 ~ (1,0,0,0) (0,0,0,1)
t_1 ~ f(t_2) = (0, 1, 0, 0) (0, 0, 1, 0)
则按照 t_1 t_2 的行顺序取列：
b = {(0,1,0,0),(1,0,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)} 为一组基，对应
p =
........|0 1 0 0|
........|1 0 0 0|
........|0 0 1 0|
........|0 0 0 1|
P^{-1}AP =
|0 1 0 0|
|0 0 0 0|
|0 0 0 1|
|0 0 0 0|

A 为 f 对应的矩阵
|0 0 0 0|
|1 0 0 0|
|0 0 0 1|
|0 0 0 0|

@luffy 啊对对对，不写了，不写了