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milukun
V2EX  ›  数学

谁能用几何方法证明这个问题?

  •  
  •   milukun · 85 天前 · 2987 次点击
    这是一个创建于 85 天前的主题,其中的信息可能已经有所发展或是发生改变。

    不可以用正弦余弦

    img

    第 1 条附言  ·  84 天前
    可以看看 47 楼
    55 条回复    2021-03-21 20:50:44 +08:00
    vantis
        1
    vantis   85 天前 via Android
    AD=1/2 BC=BD=DC
    DAB=ABD=60, DAC=DCA
    ADC=DAB+ABD=120
    DAC=DCA=1/2(180-ADC)=30
    BAC=180-DCA-ABD=90
    ulosggs
        2
    ulosggs   85 天前
    @vantis AD=1/2 BC ???
    milukun
        3
    milukun   85 天前
    @vantis #1 AD 不等于 1/2 BC 没有这个条件
    vantis
        4
    vantis   85 天前 via Android
    喔对哦
    neteroster
        5
    neteroster   84 天前 via Android
    nazor
        6
    nazor   84 天前
    用反证法就可以了。
    Raven316
        7
    Raven316   84 天前
    @neteroster cde=2theta+60 哪来的,而且下面的方程解的也不对啊
    coolpgp
        8
    coolpgp   84 天前
    @neteroster 角 CDE=2 倍角 C+60 度是怎么来的
    milukun
        9
    milukun   84 天前   ❤️ 1
    @neteroster #5 CDE 应该等于 180 - (2 日+60 度)
    最后你的等式应该变成 2 日+180 - (2 日+60 度)+60 =180
    即 180 = 180
    so.....
    neteroster
        10
    neteroster   84 天前 via Android
    @coolpgp @Raven316 不好意思脑抽了...
    konnnnn
        11
    konnnnn   84 天前
    画个圆,选一点 A'倒推,推理出角度双倍关系,所以 A,A'重合
    milukun
        13
    milukun   84 天前
    @ShinomiyaKaguya #12 可惜用了正弦余弦,而且答案不对。你看看答案的评论
    xiri
        14
    xiri   84 天前   ❤️ 2
    我真是够无聊的,想不到证明方法,写了个简单的脚本验证了题目描述的情况是唯一的。且有结论:当角 BAC 接近 60 度时,角 BAC 接近 90 度。
    xiri
        15
    xiri   84 天前
    当角 BAC 接近 60 度时-->当角 BAD 接近 60 度时
    Maskeney
        16
    Maskeney   84 天前
    又是 clubhouse 的无聊房间
    guozozo
        17
    guozozo   84 天前 via iPhone   ❤️ 1
    autoxbc
        18
    autoxbc   84 天前
    @guozozo #17 第一步 60° => 这里就是余弦定理,已经不符合题目要求了
    lylsh1993
        19
    lylsh1993   84 天前 via iPhone
    做 DE//BA,则 AE=EC,则角 ADE 60 度,EDC 60 度,角 EDC 60 度,角 B 60 度,然后不用说了吧
    lylsh1993
        20
    lylsh1993   84 天前 via iPhone
    autoxbc
        21
    autoxbc   84 天前
    @lylsh1993 #20 「角 EDC 60 度」是得不到的
    polymer
        22
    polymer   84 天前 via iPhone
    纯几何方法是不靠谱的,本质上是要求 alpha,但是条件给的是连接中点线划分出了 60 度,所以必须要用到角度和边长的关系。即使不显式地用正余弦定理,你推倒的过程几乎证明了正余弦的关系。
    polymer
        23
    polymer   84 天前 via iPhone
    @polymer 我这说的 alpha 就是角 C
    superrichman
        24
    superrichman   84 天前 via iPhone
    @lylsh1993 角 ade60 度无法推出 edc 是 60 度的
    lylsh1993
        25
    lylsh1993   84 天前
    @superrichman 是的
    GeruzoniAnsasu
        26
    GeruzoniAnsasu   84 天前


    这不是填着填着就出来了
    codingadog
        27
    codingadog   84 天前 via Android
    ?初中数学知识啊
    GeruzoniAnsasu
        28
    GeruzoniAnsasu   84 天前
    没填完(
    polymer
        29
    polymer   84 天前 via iPhone
    居然做出来了………用到的关系是大边对大角
    polymer
        30
    polymer   84 天前 via iPhone   ❤️ 4
    superrichman
        31
    superrichman   84 天前 via iPhone
    @GeruzoniAnsasu 单纯靠角度是不可能做出来的,你填的角好几个都是正常推不出来的。你按顺序写一遍就知道了
    ynyounuo
        32
    ynyounuo   84 天前   ❤️ 1
    以 D 为圆心,BD 为半径画圆;则 B,C 均落在圆上。
    反证 A 点一定落在圆上,用泰勒斯定理可得 ∠BAC = 90°
    superrichman
        33
    superrichman   84 天前 via iPhone
    @polymer bac 大于 90 度的时候,角平分线 e 做 bc 的垂直线不可能和 bc 的中点 d 重合
    polymer
        34
    polymer   84 天前 via iPhone
    @superrichman 先做垂线,然后连接 BE,发现是角平分线
    superrichman
        35
    superrichman   84 天前 via iPhone
    @polymer 中点做垂线也不能推出它是角平分线 你的第一个 since 就不成立
    ulosggs
        36
    ulosggs   84 天前
    17 楼终结此贴。
    这应该是高中竞赛题目吧。第一眼看上去很简单,真要严格证明似乎只能用反证法。
    @superrichman 从中点 D 做垂线 ED --> EBC 是等腰三角形 --> EBC = alpha
    guozozo
        37
    guozozo   84 天前 via iPhone
    @autoxbc 可以用勾股定理,等边三角形性质推出余弦定理。做个垂线。 算用么?
    superrichman
        38
    superrichman   84 天前 via iPhone
    @ulosggs 中点做垂线的确是等腰,但无法推出角平分线。只有在这个特殊的 90,60,30 度的三角形里 be 这条边才会刚好是角平分线。 不信你按他的假设证法画一个钝角三角形,比如 120 度,40 度,20 度,角平分线那说法根本就不成立的。

    要证明只能跟 17 楼一样用余弦定理。
    minamike
        39
    minamike   84 天前
    @superrichman 先作角平分线,然后∠EBC=∠C,三角形 EBC 为等腰三角形,那垂线和 BC 的交点肯定是中点 D 呀
    polymer
        40
    polymer   84 天前 via iPhone
    @superrichman 中垂线推出两边的角相等,然后因为 B 是 C 的两倍,所以是角平分线
    superrichman
        41
    superrichman   84 天前 via iPhone
    @minamike 你自己画个钝角三角形就知道角平分线在 bc 的投影会在 bc 中点的左边,根本就是两个点。
    minamike
        42
    minamike   84 天前
    @superrichman 但是这是等腰三角形啊 等腰三角形中线、垂线合一啊
    superrichman
        43
    superrichman   84 天前 via iPhone
    @minamike 嗨 我把这个给忘了 哈哈哈哈
    zxCoder
        44
    zxCoder   84 天前
    我不行
    ipwx
        45
    ipwx   84 天前
    不想用余弦定理,把余弦定理证一遍做引理呗(滑稽

    https://zhuanlan.zhihu.com/p/85203311
    Jooooooooo
        46
    Jooooooooo   84 天前
    楼上是对的, 你把正余弦重新发明一遍就好了.
    milukun
        47
    milukun   84 天前
    根据群友的辅助线画法,然后改进了一下推倒方式:
    aguesuka
        48
    aguesuka   83 天前 via Android
    46 楼正是我想说的
    ShinomiyaKaguya
        49
    ShinomiyaKaguya   83 天前
    @milukun 怎么得出 G 是 BF 中点这个结论的
    milukun
        50
    milukun   83 天前
    @ShinomiyaKaguya #49 根据“三角形中位线定理”,DG//AB,而且 D 是 AF 的中点,所以 G 就是 BF 的中点
    milukun
        51
    milukun   83 天前
    “在三角形内,经过三角形一边的中点,且与另一边平行的线段,是三角形的中位线”

    D 是 AF 的中点,DG//AB,所以 DG 是三角形 ABF 的中位线

    DG 是三角形 ABF 的中位线,所以 G 就是 BF 的中点
    autoxbc
        52
    autoxbc   83 天前
    @milukun #47 「 G 为 BF 的中点」是得不到的
    autoxbc
        53
    autoxbc   83 天前
    @milukun #51 延长 AD 至 F 时是令 DF = DC = DB,后面说 D 是 AF 的中点,实际是又令 DF = AD,这里错了
    autoxbc
        54
    autoxbc   83 天前
    @guozozo #37 先证出余弦定理应该不符合题目,或许有些与余弦定理等价的定理直接拿来用,可以算绕过
    milukun
        55
    milukun   83 天前
    @autoxbc #53 确实喔 😓 写着写着就迷糊了
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