矩阵 A 列满秩必然导致 A 的奇异值均为非零？

[huzhikuizainali]

[lance6716]

没有零特征值开平方还是奇异值这种性质。虚空打靶

[upojzsb]

要说奇异值首先要谈奇异值分解
对于矩阵 A ，其奇异值分解可以写为：
A=U \Sigma V^T
其中 U 和 V 是 Unitary 的，即 U U^T=U^T U=I, V V^T=V^T V=I ，\Sigma 为对角矩阵，对角线上的元素为 A 的奇异值
所以
A A^T = (U \Sigma V^T) (U \Sigma V^T)^T
= U\Sigma V^T V \Sigma U^T
= U \Sigma^2 U^T

对 A A^T 做特征值分解
A A^T = Q \Lambda Q^T
其中 Q 为 Unitary 的， \Lambda 是对角矩阵，其对角线上的元素为 A A^T 的特征值

考虑到矩阵的特征值是唯一的，所以
\Sigma^2 = \Lambda
也就得出了 A 的奇异值是 A A^T 开平方根的结论。

[upojzsb]

Typo:
\Sigma^2 -> \Sigma \Sigma^T